ベジェ曲線のできるまで

P₀、P₁、P₂、P₃の4点から 定義できる曲線を描きます。
0≦t≦1なるtをパラメタとして、その曲線上の点X(t)は

と表すことができます。（曲線の始点P₀、終点P₃）

また、その曲線が4角形P₀、P₁、P₂、 P₃の中に収まるとき、

　　（≦でなく＝の誤り）

が成立することが分かっています。

まず、1元3次方程式の一般式とその微分式を置きます。

k=0〜3の各グラフの状態から条件を与えます。

（t=1でのみ極値）

（t=1/3, 1で極値）

（t=0, 2/3で極値）

（t=0でのみ極値）

すると一般式が展開できます。

しかし、まだa₁とa₂が残っているので、

とすれば（t=2/3は不要）、

が出て、

となり、これを行列で書き直せば

となります。ところで、

ですから、

となって、ベジェの公式が得られました。